私とAさんは不倫関係にあって、子供が１人生れました。
Aさんは養育費もしっかり払ってくれると約束してくれて、毎月５万円を受け取っていましたが、Aさんは急病でなくなってしまいました。

私の収入だけでは子供を育てていくのにはとても苦しく、とても困っています。
そこで思ったのですが、私の子供はAさんの財産を相続できないのでしょうか？

あなたの場合は、認知されているかどうか分からないのではっきりとした答えを出す事が出来ませんが、認知されているかどうかがポイントになります。
ちなみに認知は遺言書で行う事もできます。もし認知されていなくても遺言書があるかもしれないので、確認してみましょう。